ФУНКЦІЇ ГРІНА ДЛЯ СИСТЕМ ІЗ ДИСКРЕТНИМ СПЕКТРОМ

У багатьох задачах сучасної теоретичної фізики виявляється надзвичайно ефективною техніка функцій Гріна. Найпоширеніший спосіб їх побудови випливає з формули розкладу за власними функціями даної системи. Цей розклад має вигляд [1, 3, 4]:
Тут - власні функції, а E_λ  належить спектру оператора Гамільтона. Символ Please use another browser to view content означає насправді не лише сумацію по дискретній частині спектра, а й інтегрування по неперервній його частині. Таким чином, вираз для функції Гріна можемо подати в більш розгорнутій формі:

Де G^c  і G^d -“неперервна” та “дискретна” складові.

Отже, здавалося б, маючи власні функції і відповідні власні значення гамільтоніана, можна легко побудувати функцію Гріна. Однак в багатьох задачах з обчисленням “дискретної” складової виникає трудність, оскільки при цьому доводиться виконувати сумацію по E_n ─ коренях, взагалі кажучи, трансцендентного рівняння, що не вдається виконати аналітично. Однак виявляється, що проблема розв’язується автоматично, оскільки така ж сума з протилежним знаком виникає внаслідок сумації по полюсах при застосуванні теореми про рештки при обчисленні контурного інтеграла для “неперервної” складової G^c. При цьому G^c розпадається на два доданки G^c = G^’ – G^d, і при підстановці “дискретна” складова знищується. Таким чином доданок, що містить дискретний спектр, у вихідну функцію Гріна не увійде. Така ситуація має місце в задачі про SNS-контакт [2] , але цей приклад доволі складний і вимагає громіздкого обчислення.

У даній роботі розглядається модель δ-функційної потенціальної ями. На даному прикладі показано, що “дискретна” складова функції Гріна в остаточний вираз для повної функції Гріна не ввійде. Зроблено висновки і узагальнення про розглянуту властивість функції Гріна та можливість її застостосування.

Рівняння Шредінгера для неї на осі  Please use another browser to view content виглядає так:
Please use another browser to view content  

де g < 0 - глибина потенціальної ями.

Внесок у функцію Гріна, що дає дискретний спектр, має вигляд:

Доданок від неперервного в області x > 0 спектра виражається інтегралом:
 

Бачимо, що в виразі для G^c з’являється доданок - G^d, який знищує “дискретну” складову у виразі для G. Остаточний результат для повної функції Гріна має вигляд:

Таким чином, з останнього виразу для функції Гріна внесок від дискретного спектру випав! Фізичний зміст доданків, що залишилися, такий: перший є функцією Гріна для вільної частинки, другий, пропорційний Please use another browser to view content , зумовлений наявністю ями і обертається на нуль при її відсутності (g=0). Зауважимо, що полюс його знаменника, Please use another browser to view content, визначає дискретний рівень енергії Please use another browser to view content

Можна розглянути складнішу задачу, а саме яму скінченної ширини. У цьому випадку дискретний спектр є багаторівневий. Тоді вираз для G^d являє собою суму по цих рівнях, які визначаються трансцендентним рівнянням (її очевидно, точно підрахувати неможливо). Аналогічна сума, але з протилежним знаком, виникає внаслідок сумації по полюсах у виразі для G^c. В результаті складова G^d функції Гріна G знищиться. Та ж ситуація виникає в теорії SNS-контакту, і розв’язується також внаслідок описаного знищення.

Список літератури:

1. Свідзинський А. В. Математичні методи теоретичної фізики. Луцьк.: Вежа, 2001, 563 с.

2. Свидзинский А. В. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости. М.: Наука,1982, 310 с.

3. Садовский М. В. Лекции по статистической физике. – Екатеринбург.: ИЭ УрО  РАН, 1999, 262 с.

4. Schulten K. Notes on Quantum Mechanics. – Department of Physics and Beckman Institute University of Illinois at Urbana, 2000, 390 с.