АПРОКСИМАТИВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Постановка проблеми. Поширено  результати, отримані за багаторічний період досліджень апроксимативних характеристик періодичних функцій однієї та багатьох змінних з класів , які називаються класами Нікольського – Бєсова, на аналогічні класи функцій, заданих на . Крім того проаналізовано і,  в деяких випадках, узагальнено раніше одержані результати при дослідженні апроксимативних характеристик класів функцій, що визначаються обмеженнями на кратну різницю (класи ).  Класи функцій, про які йде мова, є аналогами функціональних класів з добре відомих просторів С.М.  Нікольського (простір H) і О.В. Бєсова (простір В). 

Мета дослідження. Проаналізувати відомі результати щодо найкращого наближення класів i періодичних функцій багатьох змінних, розглянутих О. В. Бєсовим і С.М. Нікольським, і поширити їх на аналогічні класи функцій, які визначені на

Результати дослідження. Наведемо означення функціональних просторів, про які буде йти мова нижче.

Означення. Нехай заданий вектор і параметри .Тоді сукупність функцій зі скінченними нормами

називається простором .

При цьому для векторів  і виконується умова .

                Зауважимо, що під класом ( зберігаємо те саме позначення, що і для простору) будемо розуміти множину функцій , для яких .

Отже, знайдено точні за порядком оцінки наближення класів цілими функціями експоненціального типу зі спектром у кубічній  області ( означення див. у роботі [1]).

Сформулюємо один із результатів, одержаний у цьому напрямі.

Теорема. Нехай . Тоді, якщо ,

то справедливі порядкові співвідношення

де .

Наслідок.  Якщо , , то  мають місце співвідношення

.

З означенням апроксимативних характеристик, наведених у теоремі, а також класів функцій у наслідку, можна ознайомитися у роботах [1] - [3].

Висновки. Досліджено деякі питання наближення функцій з класів їх східчасто-гіперболічними сумами Фур'є у просторі . Також знайдено точні за порядком оцінки найкращих наближень класів у просторі цілими функціями зі спектром у східчастому гіперболічному хресті. Досліджено поведінку наближень класів за допомогою цілих функцій зі спектром спеціального вигляду у просторі при певних співвідношеннях між параметрами і .

Список використаної літератури

1. Романюк А.С, Романюк В.С. Оцінки деяких апроксимативних характеристик класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних / Романюк А.С,   Романюк В.С.  // Укр. мат. журн. - 2019. - T. 71, №8. - С. 1102 – 1115.
2. Янченко С. Я. Наближення функцій з класів Бєсова цілими функціями у просторі / С. Я. Янченко // Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2010. - T. 7, №1. - С. 380 - 391.