РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА КОМПЛЕКСНІЙ ПЛОЩИНІ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ В ПЛАНІМЕТРІЇ

Застосування комплексних чисел у планіметрії дозволяє звести розв’язування задач та доведення теорем до виконання алгебраїчних обчислень. В нашій роботі ми розглянули декілька задач і класичних теорем, які розв’язали, використавши рівняння прямої на комплексній площині. Виведемо це рівняння та умови паралельності й перпендикулярності прямих.

Розглянемо комплексне число f , тоді f .  Звідси f;f. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд:

f (1)

Підставивши f , f, одержимо: f

Якщо позначити f то рівняння (1) набуде вигляду: f (2)

Нехай пряма (1) проходить через точку f або, що те саме, пряма (2) проходить через точку f . Число f називають афіксом точки f і записують: f. Тоді матимемо: f. Число f будемо називати комплексним коефіцієнтом цієї прямої, і тоді вона запишеться у вигляді

f (3)

Рівняння (3) є загальним рівнянням прямої, що проходить через точкуf .

Відмітимо, що f

Розглянемо рівняння (1) при f . Число f є кутовим коефіцієнтом прямої. Зв’язок між кутовим коефіцієнтом f і комплексним коефіцієнтом f наступний: f. Відомо, що дві прямі з кутовими коефіцієнтами f i f при f будуть паралельні, а коли f, то вони перпендикулярні. Для двох прямих, рівняння яких f та f, відповідні умови будуть такими: f - умова паралельності цих прямих , f - умова їх перпендикулярності.

Якщо пряма проходить через точки f та f, то її рівняння має вигляд:

f (4)

А коли ці точки лежать на одиничному колі, тобто f, це рівняння буде таким:

f (5)

Використовуючи рівняння прямої у комплексній формі, ми розв’язали наступні задачі та довели деякі класичні теореми.

1. Нехай трикутник fвписаний в одиничне коло і вершини fмають афікси f.  Знайти афікс ортоцентра цього трикутника. (Відповідь: f).

2. Дано трикутник f і пряма f. Нехай f проекції точок fна пряму f. Довести, що прямі, які проходять через точки f і відповідно перпендикулярні прямим f перетинаються в одній точці  (її називають ортополюсом прямої f відносно трикутника f).

3. Дано довільний трикутник f. На колі, описаному навколо нього, вибрана довільна точка f. Позначимо через f проекції точки f відповідно на прямі f. Довести, що точки f лежать на одній прямій (її називають прямою Сімпсона) (теорема Сімпсона).

4. Довести, що в описаному навколо кола чотирикутнику середини діагоналей і центр кола лежать на одній прямій  (теорема Ньютона).

5. Довести, що точки перетину прямих, які містять протилежні сторони вписаного шестикутника, лежать на одній прямій (теорема Паскаля).

6. Якщо деяка пряма f перетинає прямі, що містять сторони f трикутника f відповідно в точках f, то середини відрізків fлежать на одній прямій (теорема Гаусса).

Наступна задача №7 (а) пропонувалася на турнірах з математики. Ми зуміли узагальнити її та розв'язали з використанням комплексних чисел (рівняння прямої в комплексній формі, афікс точки) (№7 б).

7. У площині трикутника f зовні його побудовані (а) правильні трикутники f(б - рівнобедрені подібні трикутники f, основами яких є сторони даного трикутника). Довести, що центр ваги трикутників f та fспівпадають.

Поле комплексних чисел є об’єктом вивчення в різних математичних дисциплінах та знаходить широке використання в багатьох областях математичних знань. Водночас комплексні числа є потужним методом досліджень в ряді інших наук, як от: загальна фізика, теоретична фізика, електротехніка, квантова механіка, теорія пружності, гідродинаміка,  аеромеханіка, геодезія, картографія та ін.